Jarosław Biernat był wychowankiem Pioniera Szczecin. Z macierzystego klubu przeniósł się do Pogoni Szczecin, a następnie do Legii Warszawa, by po okresie gry w stolicy Polski wrócić do Pogoni.
W barwach Pogoni rozegrał 160 oficjalnych meczów. W 1981 roku wywalczył z tą drużyną awans do najwyższej klasy rozgrywkowej, a rok później zagrał z Dumą Pomorza w finale Pucharu Polski.
W Legii zanotował z kolei 62 oficjalne spotkania.
W 1987 roku wyjechał do Niemiec. Za zachodnią granicą reprezentował barwy Eintrachtu Frankfurt, SG Unionu Solingen, SpVgg Bayeruth, KTSV Preussen Krefeld oraz SG Duren 99.
Piłkarską karierę zakończył w 1992 roku. Na stałe osiadł w Niemczech.
Jarosław Biernat zmarł w wieku 58 lat.