Barnabas Bese występuje na pozycji prawego obrońcy. Karierę rozpoczynał w młodzieżowych zespołach Ferencvarosu Budapeszt, ale w wieku 14 lat przeniósł się do MTK Budapeszt. W tym klubie otrzymał szansę debiutu w seniorskiej piłce i gra w nim do dnia dzisiejszego. Jest również reprezentantem Węgier. W kadrze zadebiutował w czerwcu 2016.