Bartosz Białek przyszedł na świat 11 listopada 2001 r. w Brzegu. Już od najmłodszych lat wykazywał zainteresowanie piłką nożną, co zaowocowało jego pierwszymi krokami w juniorach Stali Brzeg i MKS Oława. Przełomowym momentem w jego karierze było dołączenie do młodzieżowej sekcji Zagłębia Lubin przed sezonem 2014/15. W 2019 r. Białek został przesunięty do pierwszego zespołu Zagłębia Lubin, gdzie szybko pokazał swój talent. Debiut w Ekstraklasie miał miejsce 10 listopada 2019 r. w meczu z Rakowem Częstochowa, w którym strzelił swoją pierwszą bramkę. Sezon 2019/20 zakończył z dziewięcioma golami i czterema asystami na koncie, co przyciągnęło uwagę zagranicznych klubów. 19 sierpnia 2020 r. Białek podpisał czteroletni kontrakt z niemieckim VfL Wolfsburg. Jego debiut w nowym zespole nastąpił 12 września 2020 r. w meczu Pucharu Niemiec. W Bundeslidze zadebiutował 1 listopada 2020 r. w meczu z Herthą BSC. Mimo młodego wieku, Białek miał okazję zagrać także w europejskich pucharach. W 2025 roku podpisał kontrakt z Darmstadt.