Bartosz Salamon rozpoczął swoją przygodę z piłką nożną w wieku ośmiu lat w klubie Concordia Murowana Goślina. Już w 2004 r. przeniósł się do akademii Lecha Poznań, gdzie przeszedł przez wszystkie szczeble juniorskie. Jego talent szybko został dostrzeżony, co zaowocowało podpisaniem kontraktu z włoskim klubem Brescia Calcio w 2007 r. Debiut w Serie B nastąpił w 2008 r., zaledwie dwa dni po jego 17. urodzinach. Salamon szybko stał się kluczowym zawodnikiem Brescii, a jego umiejętności przyciągnęły uwagę większych klubów. W 2013 r. podpisał kontrakt z AC Milan, choć nie zdołał zadebiutować w oficjalnym meczu tej drużyny. Kolejne lata spędził na wypożyczeniach, m.in. w Sampdorii i Pescarze. W 2015 r. Salamon dołączył do Cagliari Calcio, gdzie pomógł drużynie awansować do Serie A. Jego kariera nabrała tempa, a w 2021 r. powrócił do Lecha Poznań. W 2022 r. został wyróżniony jako najlepszy obrońca sezonu Ekstraklasy. Jednak w 2023 r. jego kariera napotkała na przeszkody. Pozytywny wynik testu antydopingowego skutkował zawieszeniem na osiem miesięcy. Salamon reprezentował Polskę na wielu szczeblach, od drużyn juniorskich po seniorską reprezentację. Jego debiut w kadrze narodowej miał miejsce w 2013 r. podczas meczu z San Marino.