Edoardo Bove urodził się 16 maja 2002 r. w Rzymie. Od najmłodszych lat pasjonował się piłką nożną, co zaowocowało jego wczesnym dołączeniem do klubu Boreale DonOrione. W 2012 r. jego talent dostrzegli skauci AS Roma, co otworzyło mu drzwi do profesjonalnej kariery. Debiut w pierwszej drużynie AS Roma Bove zaliczył 9 maja 2021 r. w meczu Serie A przeciwko Crotone, który zakończył się imponującym wynikiem 5:0 dla jego zespołu. Pierwsze trafienie w Serie A Bove zdobył 19 lutego 2022 r. w meczu z Hellas Verona, który zakończył się remisem 2:2.