Elmar Bjarnason występuje na pozycji pomocnika. Pierwsze piłkarskie kroki stawiał w KR Reykjavik i IK Star, a następnie w Celticu. W 2008 roku przeniósł się do norweskiego FK Lyn. Tam zadebiutował w seniorskiej piłce i po jednym sezonie został kupiony przez IFK Goeteborg. W klubie tym spędził 2,5 roku. Potem wrócił do Norwegii, gdzie najpierw grał w Randers FC, a od połowy 2015 roku w Aarhus GF. Bjarnason w czerwcu 2007 roku zadebiutował w reprezentacji Islandii.