Jan Mucha występuje na pozycji bramkarza. Jest wychowankiem Interu Bratysława. W 2002 roku trafił do MSK Żylina. W klubie tym spędził trzy lata, a potem trafił do polskiej Ekstraklasy. Przez pięć sezonów był bramkarzem Legii Warszawa, w której prezentował się bardzo dobrze. Zaowocowało to transferem do Evertonu, ale tam Słowak nie zdołał przebić się do składu. Przez trzy sezony zagrał tylko w dziesięciu meczach. Potem odszedł do KS Samara. Z tego kluby był wypożyczony do Arsenalu Tula, a w lipcu 2015 roku podpisał kontrakt ze Slovanem Bratysława. Jan Mucha w reprezentacji Słowacji debiutował w 2008 roku.