Josip Iličić urodził się 29 stycznia 1988 roku w Prijedorze, na terenie dzisiejszej Bośni i Hercegowiny. Jego rodzina, bośniaccy Chorwaci, musiała opuścić ojczyznę z powodu wojny domowej. Wraz z matką i bratem przeniósł się do Słowenii, gdzie osiedlili się w Kranju. To właśnie tam Josip rozpoczął swoją przygodę z piłką nożną, trenując w lokalnym klubie NK Triglav. Początki jego kariery były związane z klubami słoweńskimi. Po grze w NK Britof, w 2007 roku dołączył do SC Bonifika, a rok później przeniósł się do Interblocku Lublana. W ciągu dwóch sezonów w tym klubie zdobył 12 bramek w 55 meczach ligowych. Jego talent szybko dostrzegł NK Maribor, do którego dołączył w 2010 roku. Jednak już po kilku miesiącach, 27 sierpnia 2010 roku, Iličić przeniósł się do włoskiego US Città di Palermo. Debiut w Serie A miał miejsce 12 września 2010 roku w meczu przeciwko Brescia Calcio. Tydzień później zdobył swojego pierwszego gola w lidze, grając przeciwko Interowi Mediolan. Jego umiejętności przyciągnęły uwagę ACF Fiorentina, która w 2013 roku zapłaciła za niego około 9 milionów euro. Mimo chorwackiego pochodzenia, Iličić nigdy nie rozważał gry dla reprezentacji Chorwacji. Całe życie spędził w Słowenii i to z tym krajem czuje się emocjonalnie związany. W reprezentacji Słowenii zadebiutował 11 sierpnia 2010 roku w meczu przeciwko Australii, który zakończył się zwycięstwem 2:0.