Juraj Kucka występuje na pozycji środkowego pomocnika. Jest wychowankiem słowackiego klubu FC Sport Podbrezova. Na początku 2009 roku trafił do Sparty Praga. Tam przez dwa lata wyrobił sobie taką renomę, że za cztery miliony euro został wykupiony przez FC Genoa. W klubie tym spędził 4,5 roku. W sierpniu 2015 roku przeniósł się do AC Milan, w którym w dalszym ciągu występuje. W listopadzie 2008 roku Kucka zadebiutował w reprezentacji Słowacji.