Kacper Urbański od najmłodszych lat związany był z Lechią Gdańsk, gdzie stawiał pierwsze kroki w profesjonalnej piłce. Jego debiut w Ekstraklasie miał miejsce 21 grudnia 2019 r. w meczu przeciwko Rakowowi Częstochowa. W lutym 2021 r. Kacper Urbański przeniósł się do Włoch, gdzie został wypożyczony do Bologna FC. Jego talent szybko został dostrzeżony, a już w maju tego samego roku zadebiutował w Serie A. Włoski klub zdecydował się na wykupienie młodego Polaka, co było znaczącym krokiem w jego karierze. Urbański dołączył do drużyny U19, a później do seniorskiego zespołu, gdzie grał u boku Łukasza Skorupskiego. Rok 2024 przyniósł kolejne wyzwania. Kacper Urbański znalazł się na liście powołanych do reprezentacji Polski na mecze towarzyskie z Ukrainą i Turcją. Jego debiut w kadrze narodowej miał miejsce podczas spotkania z Ukrainą, gdzie zastąpił kontuzjowanego Arkadiusza Milika.