Łukasz Budziłek urodził się w Bełchatowie w 1991 r. i właśnie tam rozpoczął swoją piłkarską przygodę. Jako młody bramkarz GKS-u Bełchatów zadebiutował w ekstraklasie w meczu z Widzewem Łódź, wchodząc na boisko w trudnym momencie, gdy musiał zastąpić kontuzjowanego kolegę. Ten pierwszy występ pokazał, że potrafi odnaleźć się pod presją i nie boi się odpowiedzialności. Po kilku sezonach w Bełchatowie Budziłek zdecydował się na zmianę otoczenia i w 2013 r. podpisał kontrakt z GKS-em Katowice. Tam zyskał nowe doświadczenia, ale już po roku trafił do Legii Warszawa. Choć nie udało mu się zadebiutować w pierwszym zespole stołecznego klubu, nie zrezygnował z walki o miejsce na boisku. Kolejnym przystankiem była Lechia Gdańsk, gdzie w końcu doczekał się debiutu w ekstraklasie, broniąc w wyjazdowym meczu z Pogonią Szczecin. Jego kariera to także liczne wypożyczenia. W sezonie 2016/2017 grał w Chojniczance Chojnice, a później w Wigrach Suwałki. Każdy z tych klubów dawał mu szansę na regularną grę i rozwój. W 2018 r. podpisał kontrakt z Pogonią Szczecin, gdzie jednak nie zdołał na stałe wywalczyć miejsca w pierwszym składzie. Po krótkim pobycie w rezerwach i kilku występach w ekstraklasie, Budziłek został wypożyczony do Bruk-Betu Termalica Nieciecza. W Bruk-Becie Budziłek spędził kilka sezonów, notując kolejne występy na najwyższym poziomie rozgrywkowym. W sumie w ekstraklasie rozegrał siedemnaście meczów, co pokazuje, że potrafił odnaleźć się w różnych zespołach i ligowych realiach. Jego kariera to przykład wytrwałości i gotowości do podejmowania nowych wyzwań, nawet jeśli nie zawsze był pierwszym wyborem trenerów. We wrześniu 2022 r. Budziłek dołączył do Motoru Lublin.