Migjen Basha występuje na pozycji defensywnego pomocnika. Jest wychowankiem Lausanne-Sport. W 2006 roku trafił do Włoch, gdzie zaliczył roczne epizody w Lucchese, Viareggio, AC Rimini, Frosinone oraz Atalancie. W końcu trafił do Torino, które reprezentował przez cztery lata. W 2015 roku odszedł do FC Luzern, ale już po pół roku został wypożyczony na rundę wiosenną do włoskiego Como. Basha jest również reprezentantem Albanii. Debiutował w niej w marcu 2013 roku.