Patryk Klimala urodził się 5 sierpnia 1998 r. w Świdnicy. Jego piłkarska kariera rozpoczęła się w Lechii Dzierżoniów, skąd trafił do Jagiellonii Białystok. Występy w Wigrach Suwałki pozwoliły mu na rozwinięcie umiejętności, co zaowocowało transferem do Celtiku w styczniu 2020 r. Klimala nie zatrzymał się na szkockiej ziemi. W kwietniu 2021 r. dołączył do New York Red Bulls, gdzie zdobywał doświadczenie w amerykańskiej lidze. Jednak to nie koniec jego podróży. W styczniu 2023 r. podpisał kontrakt z izraelskim Hapoel Beer Szewa. Wybuch wojny izraelsko-hamaskiej zmusił go do powrotu do Polski. Po powrocie do kraju, Klimala rozpoczął treningi ze Śląskiem Wrocław. Już 3 listopada 2023 r. rozwiązał kontrakt z Hapoelem za porozumieniem stron i dwa dni później podpisał umowę ze Śląskiem, obowiązującą do czerwca 2027 r. Jednak jego przygoda w Polsce nie trwała długo. 9 września 2024 r. został wypożyczony do Sydney FC, co było kolejnym krokiem w jego międzynarodowej karierze. Ostatecznie, 2 czerwca 2025 r., Klimala dołączył do południowokoreańskiego FC Seoul, gdzie kontynuuje swoją piłkarską podróż.