Roman Burki występuje na pozycji bramkarza. Karierę rozpoczynał w młodzieżowych klubach FC Munsingen oraz Young Boys. Grał również na wypożyczeniu w FC Thun, FC Schaffhausen oraz Grasshoppers Zurich. Do tego ostatniego klubu w lipcu 2013 roku trafił na zasadzie transferu definitywnego. Rok później został kupiony przez Freiburg. W tym klubie również spędził tylko sezon, ponieważ wtedy zgłosiła się po niego Borussia Dortmund. Roman Burki w listopadzie 2014 roku zadebiutował w reprezentacji Szwajcarii.