Vladan Kovačević urodził się w 1998 r. w Banja Luce. Swoją przygodę z piłką zaczynał w lokalnym Željezničarze, ale już jako nastolatek trafił do akademii FK Sarajevo. Tam szybko zwrócił na siebie uwagę trenerów, a pierwsze poważne szlify zdobywał na wypożyczeniu w Slobodzie Mrkonjić Grad. Debiutował w marcu 2018 r., a kilka miesięcy później podpisał pięcioletni kontrakt z FK Sarajevo. W barwach sarajewskiego klubu Kovačević nie tylko zadebiutował w lidze, ale też sięgnął po pierwsze trofeum – Puchar Bośni. Jego dobra postawa sprawiła, że klub przedłużył z nim umowę do 2024 r. Jednak młody bramkarz nie zamierzał poprzestawać na lokalnych sukcesach. W 2021 r. zdecydował się na transfer do Rakowa Częstochowa, gdzie szybko stał się jednym z filarów zespołu. W Polsce Kovačević zdobył Superpuchar, Puchar Polski i wicemistrzostwo kraju. Jego umiejętności doceniono także indywidualnie – dwukrotnie został wybrany najlepszym bramkarzem sezonu Ekstraklasy. W 2023 r. świętował z Rakowem mistrzostwo Polski, a jego nazwisko coraz częściej pojawiało się w kontekście zagranicznych transferów. Latem 2024 r. Kovačević przeniósł się do Sportingu Lizbona za 6 mln euro. Podpisał pięcioletni kontrakt z wysoką klauzulą wykupu, ale w Portugalii nie zagrzał długo miejsca. Po zaledwie sześciu występach wrócił do Polski, gdzie do końca sezonu bronił barw Legii Warszawa. To pokazuje, że nie boi się podejmować trudnych decyzji, nawet jeśli oznaczają one kolejne zmiany otoczenia. W czerwcu 2025 r. Kovačević został zawodnikiem Norwich City.