Pochodzi z Olsztyna, gdzie rozpoczął przygodę z siatkówką, ale spędził też kilka młodzieńczych sezonów w spalskiej Szkole Mistrzostwa Sportowego. Seniorską karierę w kadrze rozpoczął w 2007 roku. W biało-czerwonych barwach zdobył siedem medali w ciągu dziewięciu lat.
Pierwszy błysk mierzącego 212 cm środkowego miał miejsce podczas Igrzysk Olimpijskich w Pekinie w 2008 roku. Choć pojechał do Chin raczej jako rezerwowy, bardzo przyczynił się do zwycięstwa w ostatnim meczu grupowym z Rosją (3:2). Był to jego pierwszy z dwóch startów na igrzyskach. Pojechał także cztery lata później do Londynu. Miał też szansę, by imprezę czterolecia zaliczyć po raz trzeci z rzędu, ale trener Stephane Antiga nie zabrał go do Rio de Janeiro.
Pierwszy reprezentacyjny medal Możdżonka to złoto Mistrzostw Europy w 2009 roku. Wtedy już był podstawowym środkowym w kadrze trenera Daniela Castellaniego - Zrobił ogromne postępy, a przy jego wzroście wcale o to niełatwo. Marcin to inteligentny człowiek, który wie, że do sukcesu dochodzi się tylko dzięki ciężkiej pracy - mówił o nim Ryszard Bosek.
W 2011 roku podczas pamiętnego Pucharu Świata w Japonii został najlepiej blokującym turnieju. To był dodatek do podstawowego celu, czyli awansu do turnieju olimpijskiego w Londynie, a także do srebrnego medalu wywalczonego w tej wyczerpującej imprezie. Rok później, kiedy reprezentacja Polski z nim w składzie wygrała Ligę Światową, także został wyróżniony indywidualnie.
ZOBACZ WIDEO PGNiG Superliga: Derby Trójmiasta dla Wybrzeża. Arka nie dała rady
Polscy kibice z pewnością pamiętają Marcina Możdżonka przede wszystkim z pojedynczego bloku na Adelu Gholamim podczas dramatycznego meczu z Iranem II rundy Mistrzostw Świata w Polsce. To zwycięstwo (okupione kontuzją Michała Winiarskiego) otworzyło drogę do najlepszej szóstki mundialu.
- Mam nadzieję, że najważniejszy blok jeszcze przede mną. Rozgrywający z Iranu jest rewelacyjny, jest jednym z najlepszych na świecie. Bardzo trudno go rozczytać, nie gra schematami. W każdym meczu gra całkiem inaczej. Dużo widzi. Sztuką jest odczytać jego zamiar - mówił wtedy w Łodzi.
W swoim dorobku ma również mnóstwo medali mistrzostw Polski - po trzy złote, srebrne i brązowe. Każde z mistrzostw kraju wywalczył w barwach PGE Skry Bełchatów. Właśnie z tym klubem pojechał też dwukrotnie do Kataru na Klubowe Mistrzostwa Świata, skąd przywiózł dwa srebrne krążki.
Później trafił do ZAKSY Kędzierzyn-Koźle, a następnie wyjechał na sezon do Turcji, do Halkbanku Ankara, w którym występował razem z Michałem Kubiakiem. Następnie powrócił do PlusLigi i przez rok grał dla Cuprum Lubin, a od 2016 roku jest wierny Asseco Resovii Rzeszów.
Choć na pierwszy rzut oka wydaje się dość mocno poważnym człowiekiem, lubi żartować, także w wywiadach. Gdy został zapytany o największą wadę, odpowiedział: "mam same zalety". - Mogę się śmiać do łez przy "Czarnej Żmii" albo przy "Świętym Graalu". Mam na półce całą kolekcję DVD, długo ją kompletowałem. A co do wyglądu... Rowan Atkinson też jest podobno bardzo poważny - poza ekranem oczywiście. Ja tak nie umiem się zmieniać, na aktora się nie nadaję, absolutnie - opowiadał w rozmowie z portalem reprezentacja.net.
Po ośmiu latach przerwy Marcina Możdżonka znów zobaczymy w Klubowych Mistrzostwach Świata. Tym razem jego drużynie przyjdzie zmierzyć się z Trentino Volley, Khatamem Ardakan i Sadą Cruzeiro.
Czy Asseco Resovia Rzeszów awansuje do półfinału Klubowych Mistrzostw Świata? 
