Vanja Milinković-Savić urodził się 20 lutego 1997 roku w Hiszpanii w mieście Ourense. Juniorską karierę rozpoczynał w austriackim Grazer AK. Od 2006 roku grał w juniorach Vojvodiny Nowy Sad. W 2014 roku podpisał pięcioletni kontrakt z Manchesterem United, z którego został ponownie wypożyczony do Vojvodiny. Anglicy zapłacili za niego 1,75 miliona Euro.
Serb nie dostał jednak pozwolenia na pracę w Anglii i rozwiązał kontrakt z Manchesterem. W czerwcu 2015 roku 18-latek zagrał w mistrzostwach świata U-20 w Nowej Zelandii, gdzie Serbowie zdobyli złote medale.
Milinković-Savić rozpocznie treningi w Lechii Gdańsk w piątek. W Ekstraklasie najwcześniej będzie mógł zadebiutować w 2016 roku. Z klubem podpisał 4,5-letni kontrakt. Obowiązuje go on do czerwca 2020 roku. O miejsce w bramce będzie walczył z Marko Mariciem, Łukaszem Budziłkiem i Mateuszem Bąkiem.