60-letni Tarpiszczew to były, wieloletni prezydent Rosyjskiej Federacji Tenisowej oraz kapitan reprezentacji na Davis Cup i Fed Cup, które pod jego wodzą zdobywały swoje pierwsze tytuły. Kapitanem drużyny ZSRR na Davis Cup został w 1975 roku i był nim do 1991 roku, kiedy to został członkiem rządu i bliskim przyjacielem prezydenta Borysa Jelcyna. Został także jego osobistym trenerem tenisa.
W 1997 roku Tarpiszczew ponownie objął funkcję kapitana drużyny Rosji na Davis Cup, a także objął przewodnictwo w reprezentacji na Fed Cup. Pod jego wodzą w męskich rozgrywkach drużyna zwyciężała w 2002 i 2006 roku, a w 2007 przegrała w finale z USA. Natomiast kobieca reprezentacja zdobyła trofeum Fed Cup w 2004, 2005 i 2007 roku.
