Marko Elsner przygodę z profesjonalną piłką rozpoczął w 1977 roku od gry w zespole Olimpija Lublana. W latach 1983-1987 był zawodnikiem Crvenej Zvezdy Belgrad.
Swój największy sukces osiągnął w 1984 roku. Wówczas, wraz z kolegami z reprezentacji Jugosławii, sięgnął po brązowy medal podczas igrzysk olimpijskich w Los Angeles.
Występował jeszcze w OGC Nice i Admirze Wacker Moedling. Uznawany jest za jednego z najlepszych słoweńskich piłkarzy wszech czasów. Po zakończeniu kariery został trenerem.
Obaj jego synowie również zostali piłkarzami. Jeden z nich, Rok, był zawodnikiem Śląska Wrocław w latach 2010-2013. Zaliczył także epizod w Olimpii Grudziądz w 2015 roku.
Marko Elsner zmarł 18 maja po długiej chorobie, o czym poinformowała słoweńska telewizja. Miał 60 lat.
