Robert Kościecha zdał licencję żużlową w barwach Apatora Toruń w roku 1995. Z zespołem tym był związany do końca sezonu 2001. Wraz z toruńskimi Aniołami zdobył m.in. drużynowe mistrzostwo Polski w roku 2001. Dwa razy stanął też na drugim stopniu podium DMP. W sezonie 2002 popularny "Kostek" przeniósł się do Polonii Piła, gdzie jednak nie zagrzał miejsca na długo. Rok później przeniósł się do gdańskiego Wybrzeża, gdzie spędził 3 sezony. W roku 2006 był zawodnikiem Bydgoskiej Polonii, z którą zdobył brązowy medal drużynowych mistrzostw Polski. Lata 2007 - 2008 to powrót do Torunia i walka o tytuł najlepszej drużyny w Polsce. W roku 2008 Kościecha po raz kolejny zaznał smaku złota DMP. Po tym wydarzeniu wrócił do zespołu z Bydgoszczy, w którym pozostaje do teraz.
Poza wieloma medalami drużynowych mistrzostw Polski Robert Kościecha może poszczycić się również innymi trofeami. Jest to między innymi mistrzostwo Polski par klubowych zdobyte wraz z Tomaszem Chrzanowskim i Krzysztofem Jabłońskim w roku 2008. Kostek otarł się również o podium indywidualnych mistrzostw Polski, zajmując ostatecznie 4 miejsce w roku 2004 na torze w Częstochowie.
![Żużel. Popis mistrza i wicemistrza świata! Woźniak nie zdołał zatrzymać rywali [WIDEO]](https://v.wpimg.pl/MTM3Mi5qYjUsUTtaGgpvIG8JbwBcU2F2OBF3SxpCfWQ1AnpZGgIreSxXIABbGD4gP1IuA1RfOiQuVyNHRR1iJzlcPwhSFH97K1YsHUADKDASXD8AUhgjNSEce18CSSxnKQN1WFRGLGESAHRaB0B-Y38dJxlSUzA)
